Année 2020-2021

Année 2020-2021

Merci à Mme Le Conte et M. Boudoua pour ces quelques heures de réflexions communes sur des sujets, au combien importants, qui constituent l'essentiel du travail des enseignants !

Jeudi 10/06/2021

Pas de labo de maths ce jeudi, Mme Le Conte étant absente.

Jeudi 03/06/2021

Session du Labo de maths consacrée à la lecture d'un des articles de Y. Chevallard, datant de 2001, portant sur les grandeurs et l'histoire de leur enseignement (leur abandon au profit des nombres, et les conséquences de cet abandon en terme de pertes de technologies chez les enseignants, et donc chez les élèves. Référence : "Les grandeurs en mathématiques au collège - Partie 1 - Une Atlantide oubliée"

Jeudi 27/05/2021

Pas de labo pour cause de commission pédagogique d'un des participants.

Jeudi 20/05/2021

Retour du Labo ! Etaient présents Mme Le Conte et MM. Boudoua et Auroy.

Discussion sur les différences entre pédagogie et didactique, en reprenant le nom "pédagogie" depuis son sens original, à savoir "l'esclave qui menait les enfants à l'école".

Examen très superficiel des dernières nouveautés et nouvelles idées émises dans la T.A.D. suite aux travaux des années 2019 et 2020 par Y. Chevallard et son équipe de collaborateurs.

Jeudi 06/05/2021

Pas de Labo, Mme Le Conte étant souffrante.

Jeudi 01/04/2021

Pas de Labo cette semaine, M. Auroy étant absent et Mme Le Conte en rattrapage de cours.

Jeudi 25/03/2021

Pas de Labo cette semaine, Mme Le Conte devait rattraper un cours avec une classe.

Jeudi 18/03/2021

Examen d'une présentation réalisée par un des auteurs du PER sur l'étude des cas d'égalité des triangles en cycle 4. L'intérêt de cette présentation a été double :

  • d'une part, elle était faite par un de ceux qui ont contribué à ce que ce PER voit le jour, S. Velon, féru de géométrie et de son enseignement (notamment l'étude des pavages) ;
  • et d'autre part, des questions cruciales sont présentes dans cette présentation, qui n'apparaissaient qu'à demi-mots dans le PER. Ces questions cruciales permettent de relancer l'étude afin d'approfondir encore le travail de recherche des élèves, et permettent de faire apparaitre d'autres thèmes de géométrie étudiés en cycle 4, comme la rencontre avec l'inégalité triangulaire, la somme des angles d'un triangles, le fait que les transformations du plan sont des compositions de plusieurs symétries axiales, etc.

Jeudi 11/03/2021

Heure de labo annulée pour cause de manque de salle (les salles C105 et B203 étaient inhabituellement occupées suite à des déplacements de cours).

Jeudi 18/02/2021

Cette session s'est déroulée avec Mme Le Conte , A. Boudoua et D.Auroy.

Session prévue à l'origine sur l'étude du PER sur les cas d'égalités des triangles, mais qui a débuté sur l'analyse d'une évaluation sur la proportionnalité, donnée par Mme Le Conte à ses élèves de niveau 5ème. Cette discussion s'est prolongée toute l'heure et a porté sur les points suivants :

  • Devons-nous parler de "grandeurs proportionnelles" ou de "valeurs proportionnelles" ?
  • Devons-nous introduire les fractions à partir du quotient ou bien à partir de "simples" rapports de grandeurs, ou par un autre biais comme d'écrire que \(0,5 = \dfrac{5}{10}\) ?
  • Faut-il évaluer sur des situations où le retour à l'unité est "facilité" ou bien des situations où le retour à l'unité est problématique (rapport de valeurs non décimal) ?

Jeudi 11/02/2021

Pas de Labo cette semaine pour cause d'abscence de D.Auroy.

Jeudi 05/02/2021

Cette session s'est déroulée avec Mme Le Conte , A. Boudoua et D.Auroy. L'étude des pages 21 et suivantes du document était à l'ordre du jour. Nous avons pu constater qu'elles suivaient exactement l'ordre logique des pages précédentes : le résultat sur la somme des angles d'un triangle rectangle est prouvé grâce aux triangles égaux qui apparaissent lors du partage d'un rectangle en deux selon une de ses diagonales ainsi qu'à la présence d'angles droits dans un rectangle.

Le corollaire de cette propriété, à savoir la présence de deux angles complémentaires dans un triangle rectangle, se fait naturellement quasiment simultanément avec l'administration de la preuve de la propriété précédente.

Cela permet la généralisation du résultat sur la somme des angles d'un triangle quelconque, qui vaut aussi deux angles droits, par découpage de ce triangle en deux triangles rectangles grâce à une de ses hauteurs.

Nous avons aussi noté l'apparition possible, en cours de recherches, de l'inégalité triangulaire, à laquelle l'enseignant doit veiller afin de pouvoir l'exploiter au besoin.

Cela marque la fin de l'étude de cette première partie du document. Il reste à étudier l'étude de la symétrie centrale et de ses propriétés, qui devrait cloturer ce qui peut être enseigner au niveau 5ème.

Jeudi 28/01/2021

Cette session s'est déroulée avec A. Boudoua et D.Auroy (Mme Le Conte ayant rendez-vous avec des parents d'élèves).

Nous avons analysé les commentaires faits sur la session précédente pendant une grande partie de l'heure. En fin d'heure, nous avons évoqué un cours auquel A. Boudoua avait assisté et sur lequel il avait diverses remarques et questions auxquelles j'ai essayé de répondre étant donné qu'il s'agissait d'un de mes cours (sur les angles) : la discussion a tourné sur une manière possible d'introduire la notion de "mesure d'angle" à des élèves de 5ème n'ayant pas étudié ce chapitre en 6ème à cause du confinement prolongé de l'année 2019/2020, plus particulièrement sur le passage de la grandeur "angle" à la "mesure" d'un angle, qui est un des points essentiels des deux premières années du collège.

Jeudi 21/01/2021

Séance de travail sur le PER indiqué le jeudi 07/01/2021. Cette session s'est effectuée à trois avec Mme Le Conte, Abelhakim Boudoua et D. Auroy L'attention des participants a notamment été attirée par des questions tantôt théoriques et tantôt pratiques :

  • que penser du 4ème cas d'égalité de deux triangles (cas qui n'est jamais mentionné ni dans les programmes, ni dans les manuels) ? Est-ce dû à sa formulation trop délicate ? Peut-il apparaitre en cours suite à des recherches d'élèves ?
  • quelle théorie supporte les travaux des élèves ? Faut-il se contenter de l'aspect didactique de cette question, pour laquelle la réponse est "qu'on va d'abord exploiter la théorie disponible chez les élèves" ? Si oui, quelle est-elle dans ce PER ?
  • Faut-il parler de "mouvements" ou de "déplacements" pour les recherches de preuves des "lois" émises par les élèves ? Les enseignants doivent-ils en parler explicitement et distinguer ces deux termes ? Ou bien s'agit-il de termes hautement spécialisés qui sont là pour simplement rappeler aux enseignants que l'intérêt de ce PER est d'abord de partir du monde "sensible" afin d'en tirer/extraire une modélisation qui excluera la notion "physique" de mouvement au profit de l'examen de la position de départ et de celle d'arrivée ?

Quelques éléments évoqués au cours de cette heure, pour tenter d'y voir plus clair

Concernant le 4ème cas d'égalité des triangles

Le 4ème cas d'égalité mentionné ici est le suivant :

Deux triangles ayant un angle égal non compris entre deux côtés égaux sont égaux si l’angle est adjacent au côté le « plus court » ou si l’angle donné est égal à 90˚.

Le 1er commentaire qu'on peut faire est que ce cas d'égalité entre des triangles apparaît déjà dans la construction de triangles rectangles, par exemple dans l'énoncé suivant :

Constuire le triangle ABC rectangle en B tel que AB = 3 cm et AC = 5 cm.

En effet, le côté AB est ici le plus petit des trois, AC est le plus grand car l'hypoténuse du triangle, et le l'angle droit en B, adjacent au côté le plus court, permet à tous les élèves de construire des triangles tous égaux. En actes, ce 4ème cas d'égalité peut donc se rencontrer en cycle 4 au travers d'activités de constructions de triangles. Il peut donc aussi être rencontré lorsque le triangle ABC n'est pas rectangle mais où AB, qui est le plus petit des côtés, est donné, tout comme AC et l'angle en B.

Si ce cas d'égalité n'est pas mentionné par les programmes, c'est donc sans doute dû à sa formulation particulièrement délicate. Il n'est d'ailleurs pas du tout certain qu'il soit bien énoncé ci-dessus.

A propos de la théorie qui devrait supporter le PER et des termes "mouvement" et "déplacement"

D'une certaine manière, certains PER, si ce n'est tous, sont conçus de manière à faire apparaitre, aux yeux de tous les élèves, certains phénomènes reproductibles. Ces phénomènes doivent être vus comme étant la seule réponse possible à une question cruciale posée. Par ailleurs, cette réponse obtenue par les élèves doit être trouvée à partie des connaissances des élèves, qui doivent apparaitre comme étant limitée, et qu'il faut dépasser pour se sortir du problème posé.

Cet état d'esprit est basé sur les conceptions psychologiques de Vygotsky ("on apprend avec et contre les autres"), et sur les travaux de G. Bachelard ("en sciences, il faut penser contre son cerveau" et ses travaux sur l'axiomatisation et la surrationnalité).

Par conséquent, si l'on peut toujours chercher, et trouver, une théorie derrière ce PER (par exemple, l'axiomatique de Hilbert), elle n'est d'aucun secours pour les élèves qui en ignorent l'existence. Ici, seule compte la théorie déjà en possession des élèves, mais qui {c:red}très souvent n'existe qu'à l'état d'actes particuliers{/c}. Elle est rarement formalisée en mots.

Dans le cas présent, la théorie disponible chez les élèves est leur(s) connaissance(s) sur la symétrie axiale, datant de l'école primaire, au cours de laquelle les élèves ont manipulé (par pliages d'abord, puis par papier calque) des objets afin de leur donner un mouvement particulier permettant de les placer dans une orientation "en miroir" par rapport à l'objet de départ.

Plus tard, en 6ème, ces même élèves ont appris à "modéliser" la symétrie axiale en se passant du mouvement (fini le pliage et le papier calque : on utilise alors un "{c:red}déplacement{/c}") et en ne s'intéressant qu'à la position de départ et à celle d'arrivée, cette dernière étant construite avec les instruments de la géométrie. C'est l'occasion d'introduire ou d'utiliser des {c:violet}égalités de grandeurs{/c} (longueurs, surfaces, angles), des propriétés de {c:violet}conservation{/c} de ces longueurs, ainsi que {c:violet}la notion de médiatrice d'un segment{/c} comme étant l'axe de symétrie unique pouvant exister entre deux points.

Jeudi 14/01/2021

Séance annulée pour raison personnelle.

Du jeudi 07/01/2021 au jeudi ../../2021

Début de l'étude du P.E.R. concernant les cas d'égalité des triangles. Comme pour le PER des nombres relatifs, ce document de près de 60 pages nécessite une lecture progressive et minutieuse. Ses concepteurs (le groupe de travail de Marseilleveyre de 2017, alors sous l'autorité de l'IFé de Lyon) ont développé tout ce qui concerne les cas d'égalités des triangles, et l'étude des triangles semblables, tout cela dans un travail qui se déroule en deux parties :

  • l'une essentiellement intra-mathématique destinée à étudier des cas purement géométriques,
  • et l'autre extra-mathématique destinée à calculer des distances inaccessibles.

Un travail considérable, détaillé et théoriquement pointu.

Du Jeudi 19/11/2020 au Jeudi 17/12/2020

Début de l'étude du Parcours d'Etude et de Recherche (P.E.R. fait par le groupe de travail didactique de Marseilleveyre et expérimenté plusieurs fois déjà dans cet établissement avec succès) sur les nombres relatifs que Célia et Didier comptent utiliser en 5ème pour introduire ces nombres.

Traditionnellement, et à tort, les nombres relatifs sont souvent illustrés par des températures négatives. L'erreur des enseignants qui utilisent cette "méthode" est de négliger le fait que les températures ne sont pas des nombres : en effet, les températures sont des grandeurs "repérables" et non "calculables". Elles ne sont pas accessibles directement (on ne peut pas isoler un degré et en avoir un accès directement sans l'utilisation d'un appareil dédié).

Ainsi, utiliser les températures base cet enseignement sur un mensonge et constitue aussi une erreur didactique importante car les opérations ne sont pas définies sur les températures :

  • Un exemple : si on mélange un litre d'une de liquide à \(20^{\circ}C\) et un litre de ce même liquide à \(30^{\circ}C\), on n'obtient pas deux litres de liquide à \(50^{\circ}C\) !

C'est sur ces considérations que le groupe de Marseilleveyre a décidé de remettre l'enseignement des nombres relatifs sur des bases réellement mathématiques, en passant par les notions de programmes de calcul et de classes d'équivalences.

Ce travail va se poursuivre sur plusieurs séances car le document à étudier n'est pas simple et demande d'être lu avec beaucoup d'attention.

Jeudi 12/11/2020

Heure de labo annulée exceptionnellement pour raison administrative ou pédagogique.

Jeudi 05/11/2020

Retour critique sur l'évaluation donnée en 5ème par Célia avant les vacances.

Jeudi 15/10/2020

Pas de labo.

Jeudi 08/10/2020

Suite de la discussion sur comment faire naître, en 5ème, le besoin du calcul littéral et de l'algèbre. Quelques commentaires sur les différents types d'algèbre qui sont apparus dans l'histoire des mathématiques et sur le passage de l'algèbre (comme moyen économique de noter des informations) à l'algèbre comme devenant un outil de calcul, ou de réflexion sur des calculs.

Les quelques pistes entrevues pour faire naitre le besoin ont été :

  • les problèmes du type "calculatoire" : dénombrer le nombre de carrés situés en bordure d'un quadrillage de taille variable ;
  • écriture d'un périmètre d'un polygône dans lequel plusieurs côtés sont indiqués comme étant égaux ;
  • énoncés de règles opératoires pour généraliser des procédures acquises (écrire, par exemple, que pour toute addition, \(a+b=c\) on a toujours \(c>a\) et \(c>b\))

Jeudi 01/10/2020

Etude critique d'une évaluation donnée en 5ème par Célia.

Discussion sur le calcul littéral : faut-il en faire un chapitre particulier ou bien en parler au fil des leçons afin d'en souligner l'intérêt et le besoin. Comment faire naître ce besoin ?

Une piste : la géométrie, à travers les calculs de périmètres, d'aires.

Jeudi 24/09/2020

Comment dévoluer le problème de la construction du tableau des m² aux élèves de 5ème ?

Ce qui suit n'est probablement qu'un début d'une tentative de répondre à cette question. D'autres posts seront certainement écrits là dessus.

La réponse proposée consiste, par exemple, à faire réaliser aux élèves une conversion d'une mesure en m² en dm², ceci sans que le tableau des m² n'ait été ni revu ni enseigné auparavant.

Pré-requis :

  • la multiplication et la division d'un nombre décimal par 10, par 100, par 1000, etc.
  • les conversions entre unités dérivées du mètre
  • la connaissance de la définition du m² (1m² représente l'aire d'un carré dont les côtés mesurent 1m)

Principe :

  1. Test des acquis sur la multiplication et la division d'un nombre décimal par 10, par 100, par 1000, etc. Au besoin, un peu de rafrachissement des esprits sur la question.
  2. Test sur les conversions entre unités dérivées du mètre. Au besoin, rappeler qu'une conversion d'une unité A à une unité B revient à décaller la virgule depuis la position A (dans le tableau) à la position B (dans le tableau).
  3. Donner la définition du m² (cf ci-dessus) et montrer qu'elle s'adapte à toutes les unités dérivées du mètre (ex : l'aire d'un carré de 1dm de côté est donc 1dm²).
  4. Faire calculer l'aire d'un rectangle à partir d'un quadrillage où l'unité est le m².
  5. Faire en sorte que les élèves fassent le lien avec ce qu'ils ont pu apprendre les années passées dans le dénombrement d'objets en les regroupant en colonnes et lignes.
  6. Faire calculer l'aire d'un nouveau rectangle à partir des mesures des côtés exprimées en mètres.
  7. Enoncer clairement la formule du calcul de l'aire d'un rectangle (\(aire = Longueur \times Hauteur\))
  8. Demander à ce que l'aire du rectangle donné en 6. soit calculée en dm².
  9. Demander aux élèves de contruire, sur le modèle du tableau des mètres (ou des grammes ou des litres) un "mini tableau" de conversion permettant d'expliquer la conversion des m² en dm² réalisée précédemment.

La fin de cette heure a consisté à évoquer l'éternel chapitre sur les nombres relatifs, et notamment la soustraction des nombres relatifs :

La question a été de savoir s'il fallait passer par une droite graduée pour tenter d'expliquer la différence entre deux nombres relatifs (autrement dit passer par l'équivalent d'un espace vectoriel à une dimension, avec des vecteurs qui peuvent avoir deux sens différents), ou bien se servir de la simple propriété déjà présente dans le savoir des élèves : si \(a−b=c\) alors \(c+b=a\) ?

Le débat est là aussi ouvert et nul doute que nous y reviendrons dans des posts à venir...

Jeudi 17/04/2020

Au cours de cette heure, avec Célia, nous nous sommes questionnés sur la notion de "chiffres", "nombres" et "valeurs" sans, je dois vous le dire, aboutir à un véritable concensus.

Ensuite, nous avons abordé le problème, en 5ème, des mesures de surfaces (donc de calculs d'aires) et des conversions entre unités dérivées du m². La principale préoccupation que nous avons mentionné est la suivante :

  • Faut-il "balancer" aux élèves le tableau des m², leur "imposer" l'idée des deux sous-colonnes dans chaque unité, leur expliquer comment ça marche, et puis c'est tout ?
  • Ou bien faut-il leur faire "construire" les conversions par eux mêmes, afin qu'ils comprennent et intègrent mieux la nécessité de ces deux colonnes par unités ?

La première manière correspond plus ou moins à ce qui est généralement montré dans les livres, avec les issues qu'on peut imaginer : savoir dogmatique et inutile, soumission à l'autorité du prof, etc.

La deuxième semble davantage en rapport avec une certaine "dévolution" du problème aux élèves, qui les rend actifs dans leur apprentissages et fait d'eux des chercheurs de solution à un problème précis.

C'est là dessus que nous nous sommes quittés, avec pour objectif de réfléchir à une activité possible avec les élèves allant dans le sens deux la 2ème possibilité.

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