Année 2021-2022

Année 2021-2022

---

Lundi 20/06/2022

Pas de labo pour cause de rendez-vous médical pour M. Auroy

Lundi 13/06/2022

Séance consacrée à ce qui peut être tenté l'année prochaine dans les dispositifs d'aide proposés aux élèves : réflexions sur le dispositif que M. Auroy va tenter de mettre en place à la fois dans ses cours, avec les classes de 6e et 5e, mais aussi par MMe Le Conte et Faye dans certaines de leurs classes.

Lundi 06/06/2022

Pas de labo pour cause de jour férié.

Lundi 02/05/2022

Cette séance fait écho à celle du 21/03/2022. Discussion avec Mme Le Conte sur la résolution d'équations suite à un cours qu'elle a fait il y a quelques temps de cela sur ce thème en 4ème. La présente discussion est d'une portée essentiellement pratique. Pour en voir le côté davantage didactique, on se reportera à la discussion du 21/03/2022. La question était de savoir quelle méthode il est préférable d'enseigner aux élèves pour résoudre des équations du type \(4x + 3 = 5x - 2\).

1 - Les méthodes

Nous avons opposées la méthode "traditionnelle" suivante :

et la technique un peu moins usuelle suivante :

On le voit aisément, ces deux méthodes ne diffèrent pas par leur nombres de lignes, puisqu'elles en ont \(7\) toutes les deux.

Leurs différences résident dans les concepts théoriques qui les soutiennent.

2 - Les concepts théoriques

Méthode 1

a) Les prérequis

La réduction des expressions algébriques (factorisation, la non écriture du signe \(\times\) dans certains cas) pas forcément théorisée mais pratiquée.

b) Outils théoriques

a) Si \(a = b\) alors \(a + c = b + c\) rencontré et normalement travaillé en primaire.

b) Si \(a \times b = c \times d\) alors \(\frac{a \times b}{n} = \frac{c \times d}{n}\) pour tout \(n \neq 0\), rencontré par exemple dans les cas de proportionnalité entre deux grandeurs.

Avantages

Elle évite les prérequis nécessaires à la réalisation de la méthode n°2.

Inconvénients

Enoncé comme cela, cet outil fait normalement appel à un travail qui a pu se faire en école primaire, dans des très petites classes, afin d'aborder les notions de grandeurs et leurs comparaisons. Comme ce travail est rarement réalisé, cet outil est généralement absent de l'arsenal théorique disponible chez les élèves. On donne ainsi une grande importance à un outil mineur, peu réutilisable dans le futur, et source de difficulté (à leurs yeux) qui, de plus, est présenté comme unique méthode de résolution des équations. Souvent mal vécu par les élèves qui n'y voit pas la trivialité qu'il contient, ou plutôt qui, parce que ce prérequis se décline sur les 4 opérations, met ces dernières toutes au même niveau. La création d'un obstacle didactique réside dans l'absence de distinctions que peuvent faire les élèves entre ces opérations. Ainsi, il n'est pas rare de voir des élèves confus placer des \(+\) au lieu des \(\times\) ou des \(-\) lors de l'application de ce prérequis.

Méthode 2

a) Les prérequis

Formule	Provenance
Si \(a = b\) alors \(a - b = 0\) (et sa réciproque)	Connue depuis l'école primaire et l'apprentissage de la soustraction.
Si \(a \times b = c\) alors \(a = \frac{c}{b}\)	Fait appel à la définition de la fraction datant de l'année de 6ème
Si \(a + b = c\) alors \(c - b = a\) ou \(c - a = b\)	Rencontrée en primaire à l'occasion de stratégie de vérification des additions, ou comme outil pour compléter une opération à trous

b) Outils théoriques

1) \(-(a + b) = -a -b\) vient des nombres relatifs à l'occasion de la rencontre avec les nombres opposés en 5ème (avec \((+3) = -(-3)\)) repris et travaillé en 4ème (avec l'opposé d'une somme étant égale à la somme des opposés). Il s'agit donc d'un type de tâche récent pour des élèves de 4ème, mais si la notion d'opposés est maîtrisée, elle ne devrait pas poser de difficulté technique particulière. Par exemple, chercher \(-(5x -2)\) revient à chercher ce qui, ajouté à \(5x - 2\) permet d'obtenir \(0\) d'où \(-5x + 2\).

Avantages

Les prérequis de la méthode 2 ont, selon les programmes officiels, faits l'objet d'un travail tant sur le cycle 3 que depuis le début du cycle 4. Ces prérequis ont donc moins le côté "artificiel" et "novateur" que le prérequis a) de la méthode 1.

Inconvénients

Comme dit précédemment, les prérequis sont "normalement" rencontrés et travaillés au cours des cycles 3 et 4. Mais en général, ils sont insuffisamment travaillés tant et si bien que les enseignants du second degré se heurtent souvent à un choix : doivent-ils revenir en arrière et reprendre ces prérequis au risque de perdre du temps dans leur progression annuelle et ne pas terminer le programme ? Ou bien au contraire apporter un nouvel outil théorique (le a) de la méthode 1) et s'efforcer de tout gérer grâce à lui ? En général, ils font le 2ème choix, avec les risques indiqués dans les inconvénients de la méthode 1.

Lundi 25/04/2022

Pas de labo car Mme Le Conte récupère 1h avec une classe.

Lundi 04/04/2022

Pas de labo pour cause d'absence de Mme Le Conte.

Lundi 28/03/2022

Piste de réflexion pour cette séance :

Dans ce qui a été écrit précédemment, pour Lundi 21/03/2022, la technique \(\tau_2\) semble didactiquement la plus saine dans le sens où elle fait appel à ce que les élèves sont sensés avoir "vécu" pendant les années précédentes.

Si les élèves peuvent avoir rencontré les éléments théoriques \(\Theta_2\) à \(\Theta_5\), il est peu probable qu'ils les aient exprimés sous leurs formes algébriques présentées ici. Si donc nous voulons espérer leur enseigner la technique \(\tau_2\), il vaut en passer par une étape incontournable : faire vivre les points théoriques \(\Theta_2\) à \(\Theta_5\) à travers des situations où ces points seront rendus nécessaires afin de résoudre des questions précises.

Reste donc à trouver ces questions...

Lundi 21/03/2022

Ce matin, vers 11h, j'ai rencontré M. Inn et nous avons parlé de la technique permettant de résoudre une équation du 1er degré à une inconnue. Typiquement, une équation comme \(5x + 7 = 5\) ou même \(\frac{2x + 3}{5} = 10\), etc. Sur son tableau, M. Inn avait laissé trace d'une résolution d'une telle équation. Voici à quoi cela ressemblait :

Il n'y a rien à redire à cette technique, commune à beaucoup d'enseignants de collèges, voire de lycée. Pour tout dire, on la retrouve même utilisée par Laplace dans ses "cours de l'An III" en 1792 !

Cette méthode est portée par l'unique outil théorique suivant :

Cependant, on pourra objecter que si cette méthode existe, elle repose sur un axiome relative aux grandeurs, et que les grandeurs ne sont généralement pas enseignées en collège. Il s'agit donc d'une technique qui, certes, peut s'enseigner, mais qui fait rarement l'objet d'une institutionnalisation en classe. Généralement, en collège, les seules institutionnalisations qui existent dans ce type de tâche sont :

• une typologie des exemples comme :

  1. Etude des équations de type \(ax + b = c\)
  2. Etude des équations de type \(ax - b = c\)
  3. Etude des équations de type \(\frac{ax + b}{c} = d\)
  4. etc.

• ou bien sur des axiomes, justifié ou non, du type :

  1. Toute opération faite d'un côté doit l'être aussi de l'autre,
  2. Pour faire disparaitre une opération, on utilise l'opération contraire,
  3. etc.

In fine, on se rend compte que l'unique outil théorique \(\Theta_1\) est à la fois maladroitement résumé et étendu à d'autres opérations. Il se peut donc que cette méthode, si partagée soit-elle par les enseignants, devienne très vite une sorte de boîte noire dont les raisons d'être restent ou resteront plus ou moins mystérieuses pour beaucoup d'élèves.

Deux questions viennent alors à l'esprit :

et

Avec Mme Le Conte, nous nous sommes posées ces questions et, dans notre discussion, voici ce qu'il en est ressorti :

A la question 2, une autre technique existe, basée sur des éléments théoriques que beaucoup d'élèves connaissent par la pratique, et ce dès l'école primaire, grâce à leur rencontre avec ... les opérations à trous.

En effet, ils ont expérimenté les outils théoriques suivants :

Par ailleurs, ils ont rencontré la notion de nombres opposés lors de l'étude des nombres relatifs :

De l'aveu de Mme Le Conte, de M. Inn ou de moi-même, il est évident que si la technique \(\tau_1\) est utilisée, c'est parce que les points théoriques \(\Theta_2\) à \(\Theta_5\) ne sont pas assez travaillés lors du cursus de l'école primaire ou des 1ère années du collège. Leur "non connaissance" est donc un obstacle didactique fortement ressenti comme tel par les enseignants qui, pris par la tyrannie des programmes et sur temps, sont amenés à choisir une la technique \(\tau_1\) qui serait, à leurs yeux, à la fois plus confortable et moins couteuse en temps que s'il fallait retravailler les quatre points théoriques problématiques.

Tout cela peut aisément se comprendre et légitimer, aux yeux des enseignants, le recours à cette technique \(\tau_1\), quand bien même elle entraine plusieurs points négatifs non négligeables sur lesquels il faudrait réfléchir en groupe au sein des collèges :

Voici ce que donnerait la résolution de l'équation \(5x - 3 = 3x + 7\) en utilisant les points théoriques \(\Theta_2\) à \(\Theta_5\) :

Lundi 14/03/2022

Pas de labo pour cause de report de cours concernant Mme Le Conte et une de ses classes.

Lundi 07/03/2022

Pas de labo pour cause d'absence personnelle.

Lundi 28/02/2022

Etude sur ce qui pourrait être la meilleure organisation mathématique à mettre en place pour enseigner le théorème de Thalès. Devant la difficulté pour Mme Le Conte de déterminer une activité d'entrée dans le thème, la discussion a révélée qu'il convenait sans doute mieux de considérer le théorème de Thalès comme le bout d'une chaine de raisonnement qui prend sa source dans la théorie sur l'égalité des triangles, et notamment sur le cas ou deux triangles auraient des angles homologues égaux, sans avoir leurs côtés homologues égaux. En effet, partir de ce point de vue permet :

Ce point de vue permet de mettre en évidence le théorème de Thalès comme illustrant un résumé de cette étude, en mettant en regard les caractéristiques principales de deux triangles semblables emboités l'un dans l'autre avec superposition de deux angles homologues.

Lundi 21/02/2022

Etude d'un petit problème de "rendement" en rapport avec les fractions et la proportionnalité. Enoncé du problème :

La question est ici d'évaluer s'il pourrait être envisageable de poser ce problème à des élèves de cycle 4, en l'examinant déjà du point de vue didactique, en termes de type de tâche et surtout de modélisation.

Lundi 24/01/2022

La discussion a tourné autour des inscriptions présentes au tableau dans la salle C203, suite à une cours donné par Mme Le Conte, sur la nécessité de mettre des fractions au même dénominateur quand elles sont utilisées dans des sommes ou des différences. La question a été cruciale :

Les inscriptions présentes au tableau ne montrait aucune justification de cette mise au même dénominateur, excepté la volonté du professeur.

Quid des raisons d'être de cette pratique ?

Mme Le Conte, de son propre aveu, peinait à donner des arguments, mais songeait cependant à l'un d'eux sous la forme suivante :

Si on voulait additionner \(\frac{5}{9} + \frac{7}{11}\), quel serait le dénominateur du résultat ? 9 ? 11 ? Autre chose ?

Cette question pouvait sembler pertinente, mais à mon avis, elle occultait le problème à résoudre.

En effet, pensais-je, pourquoi déjà parler d'un résultat alors que rien ne dit que le calcul est possible ? Surtout pour des élèves qui découvre les opérations avec les fractions ?

En effet, il règne dans l'enseignement des mathématiques, une fâcheuse tendance à refuser à la didactique de jouer son rôle de soutien à l'enseignement des savoirs. L'enseignement des grandeurs (ce qu'elles sont, leur utilisation dans l'élaboration de la notion de fraction d'une grandeur puis d'unité de mesure) brille par son absence ou plutôt par l'opposition systématique (des programmes scolaires et de ceux qui les mettent au point) qui est mis en place pour éviter cet enseignement. L'ignorance de la pertinence que pourrait avoir cet enseignement est frappant et débouche, depuis de très nombreuses années, sur la confusion systématique entre périmètre et aire du fait de l'importance exagérée donnée à la mesure sans se préoccuper le moins du monde sur ce qui est mesuré.

Les calculs sur les fractions comme nombres (sans unités) alors qu'elles qui devraient être vues comme des fractions de grandeurs, posent un problème didactique majeur dans l'enseignement des mathématiques, et constituent un obstacle didactique que les enseignants doivent ensuite affronter tout au long du collège et du lycée.

Lundi 17/01/2022

Suite et fin de l'examen de la fiche d'exercices sur les mesures d'aires de rectangle, qui s'et avérée pour le moins étrange dans son contenu et peu claire dans les objectifs visés. L'utilisation de fractale a semblé totalement hors de propos, complexifiant encore davantage, à notre goût, la nécessité de différentier mathématiquement les mesures des deux grandeurs en question, à savoir le périmètre d'une surface et son aire. Il eut été plus efficace d'utiliser des figures usuelles en géométrie (polygone quelconque ou rectangle par exemple).

Lundi 10/01/2022

Début d'Examen d'une fiche d'exercices sur les mesures d'aires de rectangle. Cette fiche faisait partie d'un travail donné par un collègue de mathématiques à ses élèves. Il s'agissait vraisemblablement d'une fiche toute faite, téléchargée sur Internet, et donc potentiellement douteuse quand à son contenu. L'examen se poursuivra à la séance suivante. Après quelques recherches personnelles, cette feuille semble être un mélange de plusieurs feuilles d'exercices ou d'activités présentes sur Internet, dont les énoncés ont été soit modifiés, soit recopier à l'identique. Les sites d'origine semblent être les suivants :

1. http://sitesecoles.ac-poitiers.fr/niort-louis-aragon/sites/niort-louis-aragon/IMG/pdf/math_mardi.pdf
2. http://maths.beaucamps.free.fr/sesamath6/documents/M2.pdf

A noter que le document 2 n'est rien d'autre que le chapitre "Aires et périmètres" tiré d'un manuels Sesamath de niveau 6ème paru dans une édition précédente à la dernière version disponible sur le site de l'éditeur. En général, les manuels Sesamath ne brillent hélas pas pas leur pertinence ni par leur contenus.

Lundi 03/01/22

Pas de Labo de maths ce jour, Mme Le Conte ne se sentant pas en capacité de venir.

Lundi 29/11/21

Suite à une question posé par un collègue d'un autre établissement scolaire, nous nous sommes penchés sur la notion de division en 6ème : comment l'aborder ? quels objectifs ? La contrainte était d'éviter de parler des nombres décimaux car le collègue en question voulait se lancer dans le PER sur les fractions (actuellement en élaboration par le groupe didactique Marseillveyre-Puget) pour ensuite passer aux fractions décimales, puis aux nombres décimaux, pour arriver enfin à la division décimale.

Lundi 22/11/21

Pas de labo pour cause d'absence de M. Auroy.

Lundi 15/11/21

Discussion autour du théorème de Pythagore : Quelle organisation mathématique peut-on mettre au point pour l'enseigner ? Quelle approche choisir entre les aires ou les triplets pythagoriciens (donc par le calcul) pour ensuite revenir aux aires ? Suite la semaine prochaine.

Lundi 08/11/21

Présents : Mme Le Conte, Mme Behr et M. Auroy

En remplacement temporaire de courte durée, Mme Behr (récemment titularisée en tant que TZR, peu d'expérience car dans sa 1ère année d'enseignement) est venue assister à cette heure de labo. Les discussions ont essentiellement porté sur la géométrie en 6ème, par quoi commencer, avec quels objectifs, etc. Mme Le Conte et moi-même avons essayé au mieux de répondre aux questions qui ont pu être posées par l'intéressée.

Lundi 11/10/21

Examen superficiel, avec Mme Le Conte, du PER sur "les fractions et les décimaux" sur lequel M. Auroy travaille, avec un groupe de l'Irem de Marseille. Ce travail, toujours en cours, n'est pour l'instant pas exploitable en classe, mais il permet de se poser des questions sur les raisons d'être des fractions, sur la manière de les introduire dans le cadre du programme de 6e et de 5e.

Lundi 04/10/21

Pas de labo ce jour pour raison climatique (pour une fois que ce n'est pas une raison sanitaire !)

---

Lundi 27/09/21

Présents : C. Le Conte et D. Auroy

Réflexion autour des fractions au collège. Pourquoi les fractions ont-elles été inventées ? Pour répondre à quelle(s) question(s) ? Quel lien entre les fractions et les nombres décimaux ? Quelle(s) raison(s) d'être des nombres décimaux ?

Actuellement, à Marseille, un groupe d'enseignants et de chercheurs tentent de mettre au point un PER sur les fractions. Ce projet, difficile à mener, pour des raisons sanitaires et surtout des raisons mathématiques, dure depuis près de deux ans. Une ébauche de PER existe donc déjà, dont il faut attendre la mise au point définitive, mais qui peut permettre dès maintenant de le tester en classe, à partir de la 6ème.

---